Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 17 & 22 & 4 \\ 2 & 9 & 11 \\ 4 & 6 & 13 \end{array}]$

Étape 1

Consider the corresponding sign chart.

[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Étape 2

Use the sign chart and the given matrix to find the cofactor of each element.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Calculate the minor for element

a_{11}

$a_{11}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 9 & 11 \\ 6 & 13 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 9 & 11 \\ 6 & 13 \end{array} |$

Étape 2.1.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{11} = 9 \cdot 13 - 6 \cdot 11

$a_{11} = 9 \cdot 13 - 6 \cdot 11$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.2.1.1

Multipliez

9

$9$ par

13

$13$ .

a_{11} = 117 - 6 \cdot 11

$a_{11} = 117 - 6 \cdot 11$

Étape 2.1.2.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

11

$11$ .

a_{11} = 117 - 66

$a_{11} = 117 - 66$

a_{11} = 117 - 66

$a_{11} = 117 - 66$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez

66

$66$ de

117

$117$ .

a_{11} = 51

$a_{11} = 51$

a_{11} = 51

$a_{11} = 51$

a_{11} = 51

$a_{11} = 51$

a_{11} = 51

$a_{11} = 51$

Étape 2.2

Calculate the minor for element

a_{12}

$a_{12}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 11 \\ 4 & 13 \end{array} |$

Étape 2.2.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{12} = 2 \cdot 13 - 4 \cdot 11

$a_{12} = 2 \cdot 13 - 4 \cdot 11$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

13

$13$ .

a_{12} = 26 - 4 \cdot 11

$a_{12} = 26 - 4 \cdot 11$

Étape 2.2.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

11

$11$ .

a_{12} = 26 - 44

$a_{12} = 26 - 44$

a_{12} = 26 - 44

$a_{12} = 26 - 44$

Étape 2.2.2.2.2

Soustrayez

44

$44$ de

26

$26$ .

a_{12} = - 18

$a_{12} = - 18$

a_{12} = - 18

$a_{12} = - 18$

a_{12} = - 18

$a_{12} = - 18$

a_{12} = - 18

$a_{12} = - 18$

Étape 2.3

Calculate the minor for element

a_{13}

$a_{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 2 & 9 \\ 4 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 2 & 9 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.3.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 9

$a_{13} = 2 \cdot 6 - 4 \cdot 9$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1.1

Multipliez

2

$2$ par

6

$6$ .

a_{13} = 12 - 4 \cdot 9

$a_{13} = 12 - 4 \cdot 9$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

9

$9$ .

a_{13} = 12 - 36

$a_{13} = 12 - 36$

a_{13} = 12 - 36

$a_{13} = 12 - 36$

Étape 2.3.2.2.2

Soustrayez

36

$36$ de

12

$12$ .

a_{13} = - 24

$a_{13} = - 24$

a_{13} = - 24

$a_{13} = - 24$

a_{13} = - 24

$a_{13} = - 24$

a_{13} = - 24

$a_{13} = - 24$

Étape 2.4

Calculate the minor for element

a_{21}

$a_{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 6 & 13 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 6 & 13 \end{array} |$

Étape 2.4.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{21} = 22 \cdot 13 - 6 \cdot 4

$a_{21} = 22 \cdot 13 - 6 \cdot 4$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1.1

Multipliez

22

$22$ par

13

$13$ .

a_{21} = 286 - 6 \cdot 4

$a_{21} = 286 - 6 \cdot 4$

Étape 2.4.2.2.1.2

Multipliez

- 6

$- 6$ par

4

$4$ .

a_{21} = 286 - 24

$a_{21} = 286 - 24$

a_{21} = 286 - 24

$a_{21} = 286 - 24$

Étape 2.4.2.2.2

Soustrayez

24

$24$ de

286

$286$ .

a_{21} = 262

$a_{21} = 262$

a_{21} = 262

$a_{21} = 262$

a_{21} = 262

$a_{21} = 262$

a_{21} = 262

$a_{21} = 262$

Étape 2.5

Calculate the minor for element

a_{22}

$a_{22}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 4 & 13 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 4 & 13 \end{array} |$

Étape 2.5.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{22} = 17 \cdot 13 - 4 \cdot 4

$a_{22} = 17 \cdot 13 - 4 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.2.1.1

Multipliez

17

$17$ par

13

$13$ .

a_{22} = 221 - 4 \cdot 4

$a_{22} = 221 - 4 \cdot 4$

Étape 2.5.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

4

$4$ .

a_{22} = 221 - 16

$a_{22} = 221 - 16$

a_{22} = 221 - 16

$a_{22} = 221 - 16$

Étape 2.5.2.2.2

Soustrayez

16

$16$ de

221

$221$ .

a_{22} = 205

$a_{22} = 205$

a_{22} = 205

$a_{22} = 205$

a_{22} = 205

$a_{22} = 205$

a_{22} = 205

$a_{22} = 205$

Étape 2.6

Calculate the minor for element

a_{23}

$a_{23}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 4 & 6 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Étape 2.6.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{23} = 17 \cdot 6 - 4 \cdot 22

$a_{23} = 17 \cdot 6 - 4 \cdot 22$

Étape 2.6.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.2.1.1

Multipliez

17

$17$ par

6

$6$ .

a_{23} = 102 - 4 \cdot 22

$a_{23} = 102 - 4 \cdot 22$

Étape 2.6.2.2.1.2

Multipliez

- 4

$- 4$ par

22

$22$ .

a_{23} = 102 - 88

$a_{23} = 102 - 88$

a_{23} = 102 - 88

$a_{23} = 102 - 88$

Étape 2.6.2.2.2

Soustrayez

88

$88$ de

102

$102$ .

a_{23} = 14

$a_{23} = 14$

a_{23} = 14

$a_{23} = 14$

a_{23} = 14

$a_{23} = 14$

a_{23} = 14

$a_{23} = 14$

Étape 2.7

Calculate the minor for element

a_{31}

$a_{31}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

The minor for

a_{31}

$a_{31}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

1

$1$ deleted.

| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 9 & 11 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 22 & 4 \\ 9 & 11 \end{array} |$

Étape 2.7.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{31} = 22 \cdot 11 - 9 \cdot 4

$a_{31} = 22 \cdot 11 - 9 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.2.2.1.1

Multipliez

22

$22$ par

11

$11$ .

a_{31} = 242 - 9 \cdot 4

$a_{31} = 242 - 9 \cdot 4$

Étape 2.7.2.2.1.2

Multipliez

- 9

$- 9$ par

4

$4$ .

a_{31} = 242 - 36

$a_{31} = 242 - 36$

a_{31} = 242 - 36

$a_{31} = 242 - 36$

Étape 2.7.2.2.2

Soustrayez

36

$36$ de

242

$242$ .

a_{31} = 206

$a_{31} = 206$

a_{31} = 206

$a_{31} = 206$

a_{31} = 206

$a_{31} = 206$

a_{31} = 206

$a_{31} = 206$

Étape 2.8

Calculate the minor for element

a_{32}

$a_{32}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

The minor for

a_{32}

$a_{32}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

2

$2$ deleted.

| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 2 & 11 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 17 & 4 \\ 2 & 11 \end{array} |$

Étape 2.8.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{32} = 17 \cdot 11 - 2 \cdot 4

$a_{32} = 17 \cdot 11 - 2 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1.1

Multipliez

17

$17$ par

11

$11$ .

a_{32} = 187 - 2 \cdot 4

$a_{32} = 187 - 2 \cdot 4$

Étape 2.8.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

4

$4$ .

a_{32} = 187 - 8

$a_{32} = 187 - 8$

a_{32} = 187 - 8

$a_{32} = 187 - 8$

Étape 2.8.2.2.2

Soustrayez

8

$8$ de

187

$187$ .

a_{32} = 179

$a_{32} = 179$

a_{32} = 179

$a_{32} = 179$

a_{32} = 179

$a_{32} = 179$

a_{32} = 179

$a_{32} = 179$

Étape 2.9

Calculate the minor for element

a_{33}

$a_{33}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.1

The minor for

a_{33}

$a_{33}$ is the determinant with row

3

$3$ and column

3

$3$ deleted.

| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 2 & 9 \end{array} |

$| \begin{array}{c} 17 & 22 \\ 2 & 9 \end{array} |$

Étape 2.9.2

Evaluate the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

a_{33} = 17 \cdot 9 - 2 \cdot 22

$a_{33} = 17 \cdot 9 - 2 \cdot 22$

Étape 2.9.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.9.2.2.1.1

Multipliez

17

$17$ par

9

$9$ .

a_{33} = 153 - 2 \cdot 22

$a_{33} = 153 - 2 \cdot 22$

Étape 2.9.2.2.1.2

Multipliez

- 2

$- 2$ par

22

$22$ .

a_{33} = 153 - 44

$a_{33} = 153 - 44$

a_{33} = 153 - 44

$a_{33} = 153 - 44$

Étape 2.9.2.2.2

Soustrayez

44

$44$ de

153

$153$ .

a_{33} = 109

$a_{33} = 109$

a_{33} = 109

$a_{33} = 109$

a_{33} = 109

$a_{33} = 109$

a_{33} = 109

$a_{33} = 109$

Étape 2.10

The cofactor matrix is a matrix of the minors with the sign changed for the elements in the

-

$-$ positions on the sign chart.

[\begin{array}{c} 51 & 18 & - 24 \\ - 262 & 205 & - 14 \\ 206 & - 179 & 109 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 51 & 18 & - 24 \\ - 262 & 205 & - 14 \\ 206 & - 179 & 109 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 51 & 18 & - 24 \\ - 262 & 205 & - 14 \\ 206 & - 179 & 109 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 51 & 18 & - 24 \\ - 262 & 205 & - 14 \\ 206 & - 179 & 109 \end{array}]$